[research] two legs of a swap - IRS利率掉期

上次写了option，这次写一下和它旗鼓相当的swap。 

swap，中文直译为“交换，对调”。作为衍生品的一种，swap被翻译成【掉期】。那么swap调换的是什么呢？是现金流（cash flow）。衍生品交易中，现金流的两端称为legs。

为什么要交换现金流呢？我们引入【比较优势】（comparative advantage）的概念（但也不全是为了比较优势，后面会补充别的motivation）。

什么叫比较优势呢？比如现在A和B一起做作业：

A写一篇英语作文需要0.5个小时，B需要1个小时。

但是B用1个小时的时间能做5道数学题，A用0.5个小时可以做10道数学题。

这样看来如果B不写作文的话，他就可以做5道数学题。换言之，B写作文的机会成本就是5道数学题：1篇作文=5道数学题

A不写作文的话，他可以能做10道数学题，那么A写作文的机会成本就是10道数学题：一篇作文=10道数学题

所以A在写英语作文这件事上有绝对优势（absolute advantage），因为他写作文效率高；但是B在写作文上有相对优势（comparative advantage），因为他的机会成本低。这种设定下的最佳配置就是让A去做数学题，让B写作文。这样作文1小时写完，10道数学题0.5小时做完，共计1.5小时。

如果反过来，让A写作文B做数学题，写作文耗费0.5小时，10道数学题耗费2小时，共计2.5小时。

swap的目的就是为了扩大比较优势。以【interest rate swap 】(IRS) 为例：

现在有两个公司A和B：

A公司评级高，可以获得的贷款固定利率是10%，浮动利率是libor。

B公司评级低，可以获得的贷款固定利率是12%，浮动利率是libor+1%。

看到这里可能有人要问了，评级是谁评出来的？它和利率有什么关系？为什么有固定利率和浮动利率的区别？

评级全称信用评级（credit rating），评价的对象是个人、公司、甚至国家的信用状况，特别是偿债能力（payback ability）和违约风险（default risk）。评级的高低会直接影响公司的信誉、贷款政策和企业形象，因此特别是对于金融机构来说，credit rating非常重要。

一般有专门的评级机构（credit rating agency）来进行评级。著名的agency包括moody（穆迪），standard & poors （标普），和fitch ratings（惠誉国际），他们也被称为评级界的big 3.

公司的信用评级最高为AAA（3A）。不同评级机构的等级设置有所不同，但一般以ABCD依次往下。三大的评级通常非常有说服力，但也不是绝对的。比如2008年次贷危机时，雷曼兄弟（lehman brothers）在宣告破产的前一段时间内评级还相当高（3A），但也是说倒就倒。

所以信用评级跟利率有什么关系呢？简单来说，公司评级高，就更容易获得贷款，贷款成本就低。而利率就是用来衡量贷款成本的量化指标，因此评级高的公司贷款利率就低。

那么利率为什么会有固定利率（fixed rate）和浮动利率（floating rate）之分呢？根据investopedia的解释，固定利率是指在一定贷款期限内利率保持不变，浮动利率则是指贷款期限内利率水平随着市场状况或指数水平浮动。固定利率的好处是方便利息的计算，而浮动利率可以一定程度上hedge risk，因此一般用于中长期贷款。

所以，浮动利率是怎样hedge risk的呢？答案是：锁定利差。为了解释这个问题，我们先看看浮动利率的一般设计。

浮动利率一般会挂钩一个指数作为参考，应用最广泛的利率指数是libor（london interbank offered rate，伦敦银行间同业拆借利率）。libor反映的是global markets中【各大银行之间】的借款利率，这一利率与平时我们常见的企业贷款、个人贷款利率是有区别的（具体的下次写）。在这里，关于libor只需要知道三个点就可以：

- libor 是受到国际市场普遍认可的基准利率指数

- libor每天会有不同的值（报价），把这些点连起来可以得到libor利率曲线，反映一段时间内的libor水平

- libor和其他利率一样有期限之分，比如1 month, 3 month, 1 year

2019-01-21日的libor数据（图源wsj market data center），可以看出，和其利率的期限结构一样，期限越长，libor利率越高。

一般浮动利率的设计就是基于 libor做调整，比如以libor+2%作为实际贷款利率（libor是benchmark）。这样就很容易理解为什么浮动利率可以锁定利差。如果市场利率走高，libor和名义利率也会走高，那么base libor的floating rate也会变高，但实际收益（实际利率-名义利率）不变。所以如果现在你要借十年期贷款买房，而我们都不知道十年间利率会怎么变，为了控制interest rate risk，选择浮动利率就会成为一个稳妥的选择。

再回到A公司和B公司的case：

A公司评级高，可以获得的贷款固定利率是10%，浮动利率是libor。

B公司评级低，可以获得的贷款固定利率是12%，浮动利率是libor+1%。

首先，无论是固定还是浮动，A公司都比B公司有优势（绝对优势），因为评级高两个利率都低。但是在固定利率的优势比在浮动利率的优势大（12%-10%>01%），所以A在固定利率上有比较优势，B在浮动利率上有比较优势。这时候如果A想选择浮动利率，他就可以去找B做一个利率互换IRS。B当然也是愿意的，因为他可以获得更低的固定利率。

在这个IRS下，AB的总成本为10%+libor+1%=11%+libor；比不用IRS的成本（libor+12%）低1%。这个cost gap就是【双方的比较优势共同产生的】，也是要做这比IRS的理由（之一）。假设协议规定双方平分，操作如下：

- A以10%借固定，B以libor+1%借浮动（以原利率向银行借入）

- A向B支付libor-0.25%，B向A支付11.25%（counterparty之间）

- A最终支付libor-0.5%，B最终支付11.5%（支付给counterparty）

- 双方各得0.5%净收益

计算：

A	B	sum
-10%	-(libor+1%)	-(libor+11%)
-x	-y	-(libor+11%)
y	x	libor+11%
-libor+0.5%	-11.5%	-(libor+11%)
约束条件	求解
x+y=libor+11%	x=libor-0.25%
y-x=-libor+11.5%	y=11.25%

如果复杂一点，不是平分协议，而是四六分（净收益A6B4）应该如何操作呢？

- A以10%借固定，B以libor+1%借浮动

- 双方好处：A 0.6%，B 0.4%

- 那么A最终支付应为libor-0.6%，B最终支付应为11.6%

- A需向B支付libor+0.2%，B需向A支付10.8%

- A净收益0.6%，B净收益0.4%

计算：

A	B	sum
-10%	-(libor+1%)	-(libor+11%)
-x	-y	-(libor+11%)
y	x	libor+11%
-libor+0.6%	-11.6%	-(libor+11%)
约束条件	求解
x+y=libor+11%	x=libor+0.2%
y-x=-libor+10.6%	y=10.8%

至此可以总结：只要两个公司在两种利率上存在比较优势，那么就有发生利率互换（IRS）的可能。

但是这里有一个问题，为什么A公司一定要做浮动利率，B公司一定要做固定利率呢？这才是双方在capital markets上寻求匹配、最后达成交易的根本动因。

一种可能是我们前面提到的interest rate risk。A说我就希望用浮动利率来hedge利率风险，而B说没事我不在乎利率风险，就用固定利率吧，结算还更方便一些。这也是前面提到的产生浮动利率和固定利率区别的原因。

另一种可能是asset liability match，翻译成资产负债匹配，是portfolio management strategy中的一种。这里的match包括很多内涵，比如期限match，金额match，但最重要的是现金流match。举一个简单的例子：

现在小明家里有100万，他准备全部用来投资，用50万买了十年期国债，剩下50万放在银行里存五年的定期收利息。这100万都是小明的资产，从资产负债表上看他依然是个有钱人，有100万资产和0负债。

但其实小明现在手头并没有现金，这时候他妈妈生病住院了需要20万，小明没办法只能找朋友借钱，朋友借了20万，并要求他半年之内还钱。现在小明有100万资产和20万负债，看起来问题好像并不严重，但由于资产负债长短期的错配，小明事实上面临着严重的财政危机。账上的100万资产在不到期之前是无法变成现金的，即【流动性】很差。

这个例子讲的是【资产负债期限匹配】。那么结合前面讲到的固定利率和浮动利率，我们可以想到，作为一种重要的现金流，利息在贷款期限内，是以每月固定数额流入还是以浮动金额流入，也会影响金融机构的现金流。特别是对银行而言，存贷款交易数额巨大，这时利息就不是一笔可以忽略的收入了，因此产生了利息流入流出匹配的动机，IRS也就作为一种现金流对调的工具闪亮登场。

回到标题，对于一个IRS而言，它的two legs 分别就是fixed leg 和floating leg，即被掉期的固定利息一方和浮动利息一方。

除了IRS之外的另一种重要掉期是FX swap（外汇掉期）。如果对于IRS而言现金流的两端是固定和浮动的利息，那么对于FX swap而言，两端则是近端和远端。之前没想到IRS这么复杂，也没想到FX swap情况区别也很多，所以下一篇：two legs of a swap - FX swap。